download luan an tien si,toan hoc,chuyen nganh, toan giai tich,bai toan, nhiet nguoc, thoi gian, phi tuyen,nghien cuu sinh, nguyen huy tuan

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 62.46.01.01

BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

NGHIÊN CỨU SINH: NGUYỄN HUY TUẤN

LỜI NÓI ĐẦU

Nội dung chính của luận án này là tập trung khảo sát nghiệm của bài toán parabolic nhiệt phi tuyến ngược thời gian. Bài toán nhiệt ngược thời gian tức là bài toán xác định phân bố nhiệt độ tại thời điểm ban đầu từ phân bố nhiệt độ tại thời điểm cuối. Hai dạng bài toán phi tuyến ngược thời gian mà chúng ta sẽ khảo sát trong luận án này là:

1. Bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến.

2. Bài toán parabolic phi tuyến.

Như chúng ta đã biết, nếu trong bài toán parabolic, ta lấy toán tử A là toán tử Laplace trong một không gian hàm nào đó, thì bài toán này sẽ trở thành bài toán nhiệt. Điều này cũng có nghĩa là dạng bài thứ hai tổng quát hơn so với dạng bài thứ nhất.

Các bài toán được nêu ở trên là những bài toán không chỉnh theo nghĩa của Hadamard, nghĩa là ít nhất một trong ba trường hợp sau xảy ra:

i) Bài toán không có nghiệm, ii) Bài toán có nghiệm nhưng nghiệm không duy nhất, iii) Bài toán có nghiệm nhưng nghiệm không ổn định.

Việc nghiên cứu bài toán ngược bắt nguồn từ thực tế, trong các lĩnh vực cơ học, vật lý,.. . Và đã được nhiều nhà toán học quan tâm.

Thật vậy, trong Địa Vật Lý, chúng ta thường gặp phải bài toán xác định phân bố nhiệt độ trong trái đất hoặc một phần trái đất tại thời điểm t0 > 0 từ nhiệt độ đo được từ thời điểm t1 >t0. Cũng tương tự như vậy, bài toán này cũng được phát triển trong nhiều tình huống như: Phun núi lửa, nổ hạt nhân,.., trong đó nhiệt độ tại thời điểm ban đầu (thời điểm phun hoặc nổ) Quá cao cho nên chỉ thuận lợi khi đo nhiệt độ tại thời điểm sau đó t1 >t0. Thông thường, bài toán nếu có nghiệm thì nghiệm sẽ không phụ thuộc liên tục vào nhiệt độ cuối. Trong thực tế, chúng ta không thể nào đo đạc một cách chính xác nhiệt độ, nghĩa là sự đo đạc phải có sai số. Khi có sai số rất nhỏ của nhiệt độ tại thời điểm cuối, sẽ xảy ra sự chênh lệch nhiệt độ rất lớn tại thời điểm ban đầu, thậm chí có thể sai lệch tới con số khá lớn. Khi ta đo đạc dữ liệu, thì thường ít khi nhận được dữ liệu chính xác, mà là nhận được dữ liệu tương đối gần với dữ liệu chính xác thôi. Như sẽ chỉ ra ở mục 0.3, một sự thay đổi rất nhỏ của dữ liệu tại thời điểm cuối sẽ dẫn đến sai số rất lớn tại thời điểm ban đầu.

Điều này gây rất nhiều khó khăn trong việc tính toán số liệu. Vì thế, nhiệm vụ chính để khảo sát bài toán là phải chỉnh hóa nghiệm cho bài toán đó.

Trường hợp tuyến tính thuần nhất của các bài toán không chỉnh trên đã được nghiên cứu rất nhiều trong vài thập kỉ qua. Các phương pháp nghiên cứu bài toán này thì có rất nhiều, được bắt đầu từ năm 1960 với công trình [44] của F. John. Tiếp theo đó, trong nghiên cứu của Lattes và Lions [48], các tác giả đưa ra phương pháp quasi-3 reversibility (phương pháp QR). Ý tưởng chính của phương pháp QR là thay thế A bởi toán tử A = f (A).

------------------------------------------

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU.

MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN.

CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN

PHI TUYẾN

1.1 Chỉnh hóa bài toán (1.1) - (1.3) Bằng phương pháp Quasiboundary value

1.2 Chỉnh hóa bài toán (1.1) - (1.3) Bằng phương pháp phươngtrình tích phân

CHƯƠNG 2. BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN

2.1 Phương pháp Stabilized quasi-reversibility cho bài toánparabolic (2.1) - (2.2)

2.2 Phương pháp chuỗi Fourier cho bài toán parabolic ngượcthời gian phi tuyến

CHƯƠNG 3. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

3.1 Trường hợp tuyến tính không thuần nhất

3.2 Trường hợp bài toán nhiệt phi tuyến 1 chiều

KẾT LUẬN

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

---------------------------------------------------

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] S. M. Alekseeva, N. I. Yurchuk (1998), The quasi-reversibility method for the problem of the control of an initial condition for the heat equation with an integral boundary condition, Differen-tial Equations. 34 , no. 4, 493-500.

[2] O. M. Alifanov (1998 ), Inverse heat transfer problem, Springer-Verlag.

[3] K. A. Ames, R. J. Hughes (2005), Structural stability for ill-posed problems in Banach space, Semigroup Forum. Vol. 70, 127-145.

[4] K. A. Ames, L. E. Payne (1994), Stabilizing the backward heat equation against errors in the initial time geometry.Inequality and applications, World Sci. Ser. Appl. Anal.3 World Sci. Publish-ing, River Edge, NJ, 47-52.

[5] K. A. Ames, L. E. Payne (1998), Asymptotic for two regular-izations of the Cauchy problem for the backward heat equation, Math. Models Methods Appl. Sci. 187-202. 105106

[6] K. A. Ames, G. W. Clark, J. F. Epperson, and S. F. Oppenheimer (1998), A comparison of regularizations for an ill-posed problem, Math. Comp. 67, no. 224, 1451-1471.

[7] K. A. Ames, L. E. Payne (1999), Continuous dependence on modelling for some well-posed perturbations of the backward heat equation, J. Inequal. Appl. Vol. 3 , 51-64.

[8] K. A. Ames, L. E. Payne, P. W. Schafer (2004), Energy and pointwise bounds in some non-standard parabolic problem, Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A 134, 1-9.

[9] K. A. Ames and B. Straughan (1997), Non-standard and Im-properly Posed Problems, Academic Press, San Diego.

[10] K. A. Ames and J. F. A. Epperson (1997), Kernel-based Method for the Approximate Solution of Backward Parabolic Problems, SIAM J. Num. Anal. Vol 34, no. 4, 1997, 1357-1390. CMP 97:16.

[11] P. K. Anh and L. C. Loi (2006), On discrete analogues of nonlinear implicit differential equations. Adv. Difference Equ. Art. 43092, 1-19.

[12] D. D. Ang (1990), On the backward parabolic equation: a critical survey of some current methods, Numerical Analysis and Mathematical Modelling. Vol 24 , 509-515.107

[13] D. D. Ang (1985), Stabilized approximate solution of the inverse time problem for a parabolic evolution equation, J. Math. Anal. Appl. Vol 111, 148-155.

[14] D. D. Ang and D. D. Hai (1990), On the backward heat equation, Annales Polonici Mathematici LII.

[15] D. D. Ang, R. Gorenflo, L. K. Vy and D. D. Trong (2002), Moment theory and some Inverse Problems in Potential Theory and Heat Conduction, Lecture Notes in Mathematics 1792. Springer.

[16] D. D. Ang, A. P. N. Dinh and D. N. Thanh (1996), An inverse Stephan problem: identification of boundary value, J. of Comp. and Appl. Math. 66, 75-84.

[17] D. D. Ang, A. P. N. Dinh and D. N. Thanh (1998), Regularization of an inverse two-phase Stefan problem, Nonlinear Anal. 34, no. 5, 719-731.

[18] J. Baumeister (1987), Stable solution of Inverse Problems, Vieweg.

[19] N. Boussetila, F. Rebbani (2006), Optimal regularization method for ill-posed Cauchy problems, Electron. J. Diff. Eqns. Vol. 2006, No. 147, 1-15.

[20] G. Bulman, V. Shtelen (2004), Nonlocal transformations of Kol-mogorov equations into the backward heat equation, J. Math. Anal. Appl. 291, No.2, 419-437.108

[21] A. S. Carraso (1999), Logarithmic convexity and the ``slow evo-lution'' constraint in ill-posed initial value problems, SIAM J. Math. Anal. Vol. 30, No. 3, 479-496.

[22] G. Clark and C. Oppenheimer (1994), Quasireversibility Methods for Non-Well-Posed Problems, Electron. J. Diff. Eqns. Vol. 1994 , no.08, 1-9.

[23] D. Colton (1988), Partial Differential equations, Random House, New York.

[24] M. Denche and K. Bessila (2001), Quasi-boundary value method for non-well posed problem for a parabolic equation with integral boundary condition, Math. Probl. Eng. 7, n0 2, 129-145.

[25] M. Denche and K. Bessila (2005), A modified quasi-boundary value method for ill-posed problems, J.Math. Anal. Appl. Vol.301, 419-426.

[26] R. Dorville, O. Nakoulima, A. Omrane (2004), Low-regret control of singular distributed systems: the ill-posed backward heat problem. Appl. Math. Lett. no. 5, 549-552.

[27] R. E. Ewing (1975), The approximation of certain parabolic equations backward in time by Sobolev equations, SIAM J. Math. Anal. Vol. 6, No. 2, 283-294.109

[28] X. L. Feng, Z. Qian, C. L. Fu (2008), Numerical approximation of solution of nonhomogeneous backward heat conduction problem in bounded region. Math. Comput. Simulation, 79, no. 2, 177-188.

[29] C. L. Fu, X. T. Xiong, Z. Qian (2006), Two numerical meth-ods for solving a backward heat conduction problem, Applied Mathematics and Computation. Vol. 179, 370-377.

[30] C. L. Fu, X. T. Xiong, Z. Qian (2007), On three spectral regu-larization method for a backward heat conduction problem, J. Korean Math. Soc. 44 , No. 6, pp. 1281-1290.

[31] C. L. Fu, Z. Qian and R. Shi (2007), A modified method for a backward heat conduction problem, Applied Mathematics and Computation. 185, 564-573.

[32] H. Gajewski and K. Zaccharias (1972), Zur Regularisierung einer Klass nichtkorrekter Probleme bei Evolutiongleichungen, J. Math. Anal. Appl. no. 38 , 784-789.

[33] X. Gao, X. T. Xiong, Y. Nie, C. L. Fu (2006), Fourier regulariza-tion method for solving a backward heat conduction problem. (Chinese) J. Lanzhou Univ. Nat. Sci. 42, no. 4, 119-120.

[34] D. N. Hao (1994), A mollification method for ill-posed problems, Numer.math. 68, 469-506.110

[35] D. N. Hao (1996), A mollification method for a noncharacteristic Cauchy problem for a parabolic equation, J. Math. Anal. Appl. 199, 873-909.

[36] D. N. Hao, N. V. Duc and H. Sahli (2008), A non-local boundary value problem method for parabolic equations backward in time, J. Math. Anal. Appl. 345, 805-815.

[37] D. N. Hao and N. V. Duc (2009), Stability results for the heat equation backward in time, J. Math. Anal. Appl. 353, 627-641.

[38] A. Hassanov, J. L. Mueller (2001), A numerical method for back-ward parabolic problems with non-selfadjoint elliptic operator, Applied Numerical Mathematics. 37, 55-78.

[39] B. M. Campbell H and R. J. Hughes (2007), Continuous depen-dence results for inhomogeneous ill-posed problems in Banach space, J. Math. Anal. Appl. Volume 331, Issue 1, 342-357.

[40] B. M. Campbell H, R. Hughes, E. McNabb.(2008), Regularization of the backward heat equation via heatlets, Electron. J. Diff. Eqns. Vol. 2008, No.130, 1-8.

[41] Y. Huang, Z. Quan.(2004), Regularization for ill-posed Cauchy problems associated with generators of analytic semigroups. J. Differential Equations. Vol. 203 no. 1, 38-54.111

[42] Y. Huang and Z. Quan. (2005), Regularization for a class of ill-posed Cauchy problems, Proc. Amer. Math. Soc. Vol. 133, 3005-3012.

[43] Y. Huang (2008), Modified quasi-reversibility method for final value problems in Banach spaces, J. Math. Anal. Appl. 340, 757-769.

[44] F. John (1955), Numerical solution of the equation of heat con-duction for preceding times, Ann.Math.Pura Appl. 40, 129-142.

[45] M. Jourhmane and N. S. Mera (2002), An iterative algorithm for the backward heat conduction problem based on variable relaxation factors, Inverse Probl. Sci. Eng. 10, no.4, 469-506

[46] S. M. Kirkup and M. Wadsworth (2002), Solution of inverse diffusion problems by operatorsplitting methods, Applied Mathe-matical Modelling, no. 10, 1003-1018

[47] L. C. Evans (1997), Partial Differential Equation, American Mathematical Society, Rhode Island.

[48] R. Lattes, J. L. Lions (1967), Methode de Quasi-Reversibilite et Applications, Dunod, Paris.

[49] M. M. Lavrentiev (1973), Some Improperly Posed problem of Mathematical Physics, Springer Tracts in Natural Phisolophy, vol. 11, 161-171.112

[50] M. Lees and M. H. Protter (1961), Unique continuation for parabolic differential equations and inequality, Duke Math.J. 28, 369-382.

[51] J. J. Liu (2002), Numerical solution of forward and backward problem for 2-D heat equation, J. Comput. Appl. Math., 145, 459-482.

[52] J. J. Liu and D. J. Lou (2003), On stability and regularization for backward heat equation, Chinese Ann. Math. 24B(1) 35-44.

[53] J. J. Liu (2001), Determination of temperature field for backward heat transfer, Comm. Korean. Math. Soc. 16(3), 385-397.

[54] C. S. Liu (2004), Group preserving scheme for backward heat con-duction problems, Int. J. Heat Mass Transfer 47 (2004), 2567–2576.

[55] J. J. Liu (2005), On ill-posedness and inversion scheme for 2-D backward heat conduction, Frontiers and prospects of contemporary applied mathematics, 227-241,Ser. Contemp. Appl. Math. CAM, 6, Higher Ed. Press, Beijing.

[56] N. T. Long, A. P. N. Dinh (1994), Approximation of a parabolic non-linear evolution equation backwards in time, Inv. Problems. 10 , 905-914.

[57] I. V. Mel'nikova (1989), Regularization of ill-posed differential problem (in Russian), Sibirks, Mat. Zh. 33 126-134.113

[58] I. V. Mel'nikova, Q. Zheng and J. Zheng (2002), Regularization of weakly ill-posed Cauchy problem, J. Inv. Ill-posed Problems. Vol. 10 (2002), No. 5, 385-393.

[59] N. S. Mera, L. Elliott, D. B. Ingham, and D. Lesnic (2001), An iterative boundary element method for solving the one-dimensional backward heat conduction problem, International Journal of Heat and Mass Transfer. 44, no. 10, 1937-1946.

[60] N. S. Mera (2005), The method of fundamental solutions for the backward heat conduction problem, Inverse Probl. Sci. Eng. 13, no. 1, 65-78.

[61] K. Miller (1973), Stabilized quasi-reversibility and other nearly-best-possible methods for non-well-posed problems, Sympo-sium on Non-Well-Posed Problems and Logarithmic Convexity (Heriot-Watt Univ., Edinburgh, 1972), pp. 161-176.Lecture Notes in Math. Vol. 316, Springer, Berlin,

[62] N. V. Nhan; T. T. Le; D. N. Thanh; D. D. Trong (1998), A moment approach to some problems in heat conduction, Proceedings of the International Conference on Inverse Problems and Applications (Quezon City, 1998). Matimyas Mat. 21 , Special Issue, 148-153.

[63] N. V. Nhan, N. V. Huy and D. D. Trong (2002), Reconstruction of analytic functions on the unit disc from a sequence of moments: regularization and error estimates. Acta Math. Vietnam, no. 3, 307-320.114

[64] N. V. Nhan, N. Cam, A. P. N. Dinh (2004), The backward heat equation: regularization by cardinal series, Arch. Inequal. Appl. 2, 355-363.

[65] A. Pazy ( 1983), Semigroups of linear operators and application to partial differential equations, Springer-Verlag.

[66] S. Piskarev (1987), Estimates for the rate of convergence in the solution of ill-posed problems for evolution equations, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat, 51, 676-687.

[67] M. Renardy, W. J. Hursa and J. A. Nohel (1987), Mathematical Problems in Viscoelasticity, Wiley, New York.

[68] R. E. Showalter (1974) The final value problem for evolution equations, J. Math. Anal. Appl, 47, 563-572.

[69] R. E. Showalter (1983), Cauchy problem for hyper-parabolic partial differential equations, in Trends in the Theory and Practice of Non-Linear Analysis, Elsevier.

[70] R. E. Showalter (1975), Quasi-reversibility of first and second order parabolic evolution equations, Improperly posed boundary value problems (Conf., Univ. New Mexico, Albuquerque, N. M., 1974), 76-84. Res. Notes in Math., n0 1, Pitman, London.

[71] T. I. Seidman (1996), Optimal filtering for the backward heat equation, SIAM J. Numer. Anal. 33, 162–170.115

[72] P. H. Quan and N. Dung (2005), A backward nonlinear heat equation regularization with error estimates, Applicable Analysis. Vol.4, No.4, 343-355.

[73] P. H. Quan, D. N. Thanh, D. D. Trong (2005), Recovering the surface temperature history of a two layer composite body, Applicable Analysis. Vol. 84, No.8, pp. 833-842.

[74] P. H. Quan, D. D. Trong (2006), A nonlinearly backward heat problem: uniqueness, regularization and error estimate, Applicable Analysis. Vol. 85, Nos. 6-7, 641-657.

[75] P. H. Quan, T. N. Lien and D. D. Trong (2005), A discrete form of the backward heat problem on the plane, Int. J. Evol. Equ, no. 3, 265-279.

[76] U. Tautenhahn and T. Schroter (1996), On optimal regularization methods for the backward heat equation, Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen. 15, no. 2, 475–493.

[77] D. N. Thanh; N. V. Nhan; A. P. N. Dinh; T. T. Le (2002), Surface temperature determination from borehole measurements: regularization by cardinal series, Nonlinear Anal. 50, no. 7, Ser.A: Theory Methods, 1055-1063.

[78] D. D. Trong and T. N. Lien (2007), Regularization of a discrete backward problem using coefficients of truncated Lagrange poly-nomials, Electron. J. Diff. Eqns. Vol. 2007, No. 51, 1-14.116

[79] D. D. Trong and N. H. Tuan (2006), Regularization and error es-timates for nonhomogeneous backward heat problems, Electron. J. Diff. Eqns. Vol. 2006, No. 04, 1-10.

[80] D. D. Trong, P. H. Quan, T.V.Khanh and N.H. Tuan (2007), A nonlinear case of the 1-D backward heat problem: Regularization and error estimate, Zeitschrift Analysis und ihre Anwendungen. Volume 26, Issue 2, 231-245.

[81] D. D. Trong and N. H. Tuan (2008), A nonhomogeneous back-ward heat problem: Regularization and error estimates, Electron. J. Diff. Eqns. Vol. 2008, No. 33, 1-14.

[82] D. D. Trong and N. H. Tuan (2008), Stabilized quasi-reversibility method for a class of nonlinear ill-posed problems , Electron. J. Diff. Eqns. Vol. 2008, No. 84, 1-12.

[83] D. D. Trong and N. H. Tuan (2009), Regularization of the nonlinear backward heat problem using a method of integral equation, Nonlinear Anal. Volume 71, 4167-4176.

[84] D. D. Trong and N. H. Tuan (2009), Remarks on a 2-D nonlinear backward heat problem using a truncated fourier series method. Electron. J. Diff. Eqns. Vol. 2009 , 1-13.

[85] D. D. Trong and N. H. Tuan (2009), A new regularized method for two dimensional nonhomogeneous backward heat problem, Appl. Math. Comput. Volume 215, Issue 3, 2009, 873-880.117

[86] D. D. Trong, P. H. Quan, and N. H. Tuan (2009), A quasi-boundary value method for regularizing nonlinear ill-posed problems, Electron. J. Diff. Eqns. Vol. 2009 , No. 109, 1-16.

[87] D. D. Trong, N. H. Tuan and P. H. Quan (2009), A new version of quasi-boundary value method for a 1-D nonlinear ill-posed heat problem, J. Inv. Ill-Posed Problems Vol.17 , 911–929.

[88] D. D. Trong and N. H. Tuan (2009), A nonlinear backward parabolic equation: regularization with new error estimates, submitted to Journal Nonlinear Analysis.

[89] X. T. Xiong, C. L. Fu, Z. Qian and X. Gao (2006), Error es-timates of a difference approximation method for a backward heat conduction problem, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. Volume 2006, Article ID 45489, Pages 1–9.

[90] X. T. Xiong, C. L. Fu (2007), Error estimates on a backward heat equation by a wavelet dual least squares method, Int. J. Wavelets Multiresolut. Inf. Process, no. 3, 389-397.

[91] B. Yildiz , M. Ozdemir (2000), Stability of the solution of back-ward heat equation on a weak compactum, Applied Mathematics and Computation. 111, 1-6. 

-----------------------------------------------

keyword: download luan an tien si,toan hoc,chuyen nganh, toan giai tich,bai toan, nhiet nguoc, thoi gian, phi tuyen,nghien cuu sinh, nguyen huy tuan

linkdownload: LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN