ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
(Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC- Mã số: 60 46 15)
Đầu
tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại
học, Khoa Toán - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ
Chí Minh, Bộ môn Xác suất - Thống kê cùng tất cả Quý Thầy Cô đã tận tình
giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận
văn này.
Tôi
xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình: TS. Tô
Anh Dũng, Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP. HCM. Tôi cảm ơn thầy về những
lời khuyên, gợi ý và sự hỗ trợ tận tình, chu đáo của thầy trong quá
trình học tập và giúp tôi hoàn thành luận văn này.Đồng thời, tôi cũng
xin được gởi lời cảm ơn đến PGS. TS Nguyễn Bác Văn, TS. Dương Tôn Đảm.
Các thầy đã trang bị cho tôi kiến thức, giúp tôi hiểu rõ hơn về xác
suất, thống kê và ảnh hưởng sâu sắc đến con đường học tập, nghiên cứu
khoa học của mình.
MỞ ĐẦU
Hầu
hết ở các nước phát triển, vốn dự phòng ban đầu là một lượng nhỏ cố
định được quy định bởi chính phủ và phụ thuộc vào sự luân chuyển vốn của
công ty bảo hiểm. Thật vậy, điều đó giúp bảo vệ khách hàng tránh tình
trạng không may là công ty phải trả một lượng lớn tiền bồi thường trong
một khoảng thời gian ngắn làm công ty mất khả năng chi trả (rủi ro). Vấn
đề quản lý rủi ro trong bảo hiểm là một trong các vấn đề quan trọng
nhất. Việc có một mô hình toán học giúp quản lí rủi ro là rất cần thiết
cho các công ty bảo hiểm.
Jarrow
Land và Turnbull chỉ ra rằng có thể giải quyết được vấn đề rủi ro trong
tài chính và bảo hiểm bằng công cụ xích Markov. Sau đó nhiều bài báo đã
chỉ ra rằng xích Markov có thể nảy sinh nhiều vấn đề. Cũng từ thời điểm
này người ta nghĩ đến việc ứng dụng bán Markov vào rủi ro trong tài
chính và bảo hiểm. Nguyên nhân là đối với xích Markov thời gian chuyển
đổi giữa các trạng thái là rời rạc. Đây là lý do tại sao bán Markov được
dùng tốt hơn xích Markov. Trong luận văn này tôi sẽ trình bày ứng dụng
của quá trình bán Markov vào quản lý rủi ro trong bảo hiểm.
MỤC LỤC
Thuyết tái tạo 1
1.1 Mục đích.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1
1.2 Định nghĩa chính.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2
1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 3
1.4 Phương trình tái tạo.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 7
1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace 14
1.5. 1 Phép biến đổi Laplace 14
1.5. 2 Phép biến đổi Laplace Stieltjes (L- S) 16
1.5. 3 Một ứng dụng đối với hàm tái tạo 17
1.6 Ứng dụng của đẳng thức Wald 18
1.6. 1 Đẳng thức Wald 18
1.6. 2 Chặn dưới của hàm tái tạo R 19
1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N (t) 20
1.8 Các thời điểm hồi quy 23
1.8. 1 Định nghĩa 23
1.8. 2 Hàm phân phối của số lần hồi quy 24
1.8. 3 Dáng điệu tiệm cận 26
1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng 30
1.10 Dạng số 35
1.10.1 Phương pháp cầu phương tổng quát 35
1.10.2 Một vài công thức đặc biệt 37
1.10.3 Ví dụ thực tế về tai nạn ô tô 39 2 Xích Markov 45
2.1 Tính Markov 45
2.1. 1 Định nghĩa tính Markov 45
2.1. 2 Các ví dụ 46
2.2 Định nghĩa xích Markov 47
2.3 Phân loại trạng thái xích Markov 50
2.3. 1 Các trạng thái tuần hoàn và không tuần hoàn 50
2.3. 2 Các trạng thái ước lượng và không ước lượng được – Tính tối giản. 50
2.3. 3 Trạng thái nhất thời và hồi quy 51
2.4 Số lần chiếm giữ 54
2.5 Tính xác suất hấp thu 55
2.6 Dáng điệu tiệm cận 56
2.7 Các ví dụ 60
2.8 Một trường hợp trong bảo hiểm xã hội (Janssen (1966)) 63
2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 65
2.9. 1 Thuật toán cho nghiên cứu xích Markov tiệm cận 65
2.9. 2 Mẫu dữ liệu tối giản thực tế trong bảo hiểm xe 68
2.9.
3 Các ví dụ rút gọn được và không rút gọn được, dạng kết nối chính tắc.
72 3 Quá trình tái tạo Markov, bán Markov và bước ngẫu nhiên Markov 82
3.1 Quá trình (J- X) Dương 82
3.2 Xích bán Markov và xích bán Markov mở rộng 83
3.3 Các tính chất chính 83
3.4 Ví dụ về quá trình yêu cầu bồi thường trong bảo hiểm 86
3.5 Quá trình tái tạo Markov, quá trình bán- Markov và quá trình đếm liên kết 87
3.6 Các hàm tái tạo Markov 88
3.7 Phương trình tái tạo Markov 91
3.8 Dáng điệu tiệm cận của MRP 92
3.8. 1 Dáng điệu tiệm cận của hàm tái tạo Markov 92
3.9 Dáng điệu tiệm cận của SMP 92
3.9. 1 Trường hợp tối giản 92
3.9. 2 Trường hợp không tối giản 94
3.10 MRP trì hoãn và MRP dừng 95
3.11 Trường hợp nghiên cứu về bảo hiểm xã hội 98
3.11.1 Mô hình bán Markov 98
3.11.2 Ví dụ số 99
3.12 Quá trình (J- X) 100
3.13 Các hàm của quá trình (J- X) 101
3.14 Các bước ngẫu nhiên cổ điển và lý thuyết rủi ro 103
3.14.1 Các kí hiệu cơ bản trong bước ngẫu nhiên 103
3.14.2 Sự phân loại các bước ngẫu nhiên 104
3.15 Các bước ngẫu nhiên bán Markov 106
3.16 Phân phối cận trên đúng cho các bước ngẫu nhiên bán Markov 107
4 Các Mô Hình Rủi Ro Trong Bảo Hiểm 109
4.1 Mô hình ngẫu nhiên cổ điển cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản... 109
4.2 Mô hình rủi ro E. S Anderson hay G/ G 110
4.2. 1 Mô hình 110
4.2. 2 Phí bảo hiểm 110
4.2. 3 Ba quá trình cơ bản 112
4.2. 4 Xác suất phá sản 113
4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/ G 115
4.3. 1 Mô hình 115
4.3. 2 Xác suất phá sản 115
4.3. 3 Quản lí rủi ro bằng xác suất phá sản 120
4.3. 4 Ước lượng Cramer 121
4.4 Các mô hình khuyếch tán cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản 123
4.4. 1 Mô hình rủi ro khuyếch tán đơn giản 123
4.4. 2 Mô hình rủi ro ALM 124
4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov 125
4.5. 1 Mô hình rủi ro bán Markov (hay SMRM) 125
4.5. 2 Mô hình rủi ro bán Markov tổng quát (hay GSMRM) 125
4.5. 3 Quá trình đếm số yêu cầu bồi thường 128
4.5. 4 Quá trình tiền bảo hiểm tích lũy 130
4.5. 5 Quá trình tiền đóng bảo hiểm 131
4.5. 6 Quá trình rủi ro và rủi ro của vốn dự trữ 131
4.5. 7 Mô hình rủi ro bán- Markov dừng 132
4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán- Markov tổng quát 132
4.6. 1 Xác suất phá sản và không phá sản 132
4.6. 2 Sự thay đổi mức phí bảo hiểm 133
4.6. 3 Giải pháp tổng quát cho vấn đề tiệm cận xác suất rủi ro 134
Kết luận 137
Tài liệu tham khảo 138
CHƯƠNG 1: LÍ THUYẾT TÁI TẠO
1.1 Mục đích
Đặt
(Xn, n ≥ 1) Là một dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập và có cùng
phân phối được xác định trên không gian xác suất (Ω, «, P).
Ta
xét vấn đề về độ tin cậy như sau: Tại thời điểm 0, hệ được xét bắt đầu
với một thành phần mới và sau đó nó bị hỏng tại thời điểm ngẫu nhiên T1.
Tại thời điểm này, một thành phần mới khác lập tức được thay thế cho
thành phần đầu tiên trong hệ, sau đó nó cũng bị hỏng tại thời điểm c và
cứ tiếp tục quá trình như vậy. Tất cả các thành phần này đều cùng loại.
Ta gọi (Tn, n ≥ 0) Là các thời điểm thay thế liên tiếp, ta có T0 = 0. (1.1)
Tuổi thọ của các thành phần liên tiếp được đưa vào hệ cho bởi
Xn = Tn − Tn−1, n ≥ 1. (1.2)
Hình 1.1: Đồ thị của N (t)
Từ
quan điểm toán tử, một đặc trưng quan trọng của hệ được xét tại thời
điểm t là tổng số các thay thế xảy ra trong khoảng [0, t]. Lưu ý rằng ta
không xét thành phần đầu tiên. Nếu N
(t) Là biến ngẫu nhiên ta vừa định nghĩa, với n ≥ 1 ta có: N
(t) > n − 1 ⇔ Tn ≤ t. (1.3) Quá trình ngẫu nhiên (N
(t), t ≥ 0), được thể hiện ở hình 1.1.
Mômen cấp một của N
(t)
Sẽ cho số lượng trung bình của sự thay thế trong (0, t]. Đặc biệt nếu
tại thời điểm 0, người quản lý có đủ khả năng để thực hiện toàn bộ sự
thay thế, số lượng thay thế trung bình sẽ là kì vọng E (N
(t)).
Dĩ nhiên, nhà quản lý phải dự trữ thêm để ngăn chặn sự gia tăng ngẫu
nhiên. Vấn đề này sẽ được giải quyết trong mục 1.7. Lĩnh vực nghiên cứu
xác suất của các quá trình này được gọi là thuyết tái tạo. Nó được sử
dụng cho xác suất ứng dụng, một trong những chủ đề quan trọng để giải
quyết một số vấn đề trong cuộc sống.
1.2 Định nghĩa chính
Định nghĩa 1.1. Dãy ngẫu nhiên (Tn, n ≥ 0), trong đó T0 = 0, (1.4)
Tn = X1 + ... + Xn, n ≥ 1 (1.5) Được gọi là dãy tái tạo hoặc quá trình tái tạo.
Các
biến ngẫu nhiên Tn, n ≥ 0 được gọi là thời điểm tái tạo và biến ngẫu
nhiên Xn, n ≥ 1 được gọi là khoảng thời gian giữa hai lần chuyển đổi.
Ví dụ 1.1.
1.
Ta xét hệ thống hàng đợi của một dịch vụ, quá trình khách hàng đến và
quá trình số lần phục vụ được áp dụng bởi luật FIFO, nghĩa là khách hàng
nào tới trước sẽ được phục vụ trước. Trong nhiều mô hình của lý thuyết
hàng đợi, quá trình đến được thừa nhận là một quá trình tái tạo. Trong
trường hợp này, biến ngẫu nhiên Tn là thời gian đến của khách hàng thứ
n, khi đó khách hàng số 0 thì sẽ được phục vụ tại thời điểm 0 và biến
ngẫu nhiên Xn mô tả khoảng thời gian đến giữa khách hàng thứ (n − 1) Và
thứ n.
2.
Quá trình đến cũng được xét trong lý thuyết rủi ro. Ta xét một công ty
bảo hiểm bắt đầu tại thời điểm 0 với số vốn ban đầu u (u ≥ 0). Khách
hàng đóng phí bảo hiểm và công ty bảo hiểm phải trả tiền bồi thường khi
khách hàng xảy ra tai nạn. Trong trường hợp này, biến ngẫu nhiên Tn mô
tả yêu cầu bồi thường bảo hiểm thứ n và công ty sẽ bắt đầu xem xét chi
trả tiền bồi thường với yêu cầu đầu tiên được gọi là yêu cầu bồi thường
0, biến ngẫu nhiên Xn là “khoảng thời gian đến” giữa sự bồi thường thứ
(n − 1) Và thứ n.
3.
Trong lý thuyết đếm, ta xét các mẫu đến tại thời điểm Tn, n ≥ 0 với T0 =
0, biến ngẫu nhiên Xn thỏa các điều kiện của thời điểm đến giữa 2 lần
chuyển đổi liên tục.
Định
nghĩa 1.2. Với mỗi dãy tái tạo, ta có thể kết hợp các quá trình ngẫu
nhiên sau có thời gian liên tục với các giá trị trong N: (N
(t), t ≥ 0) (1.6) Khi đóN (t) > n − 1 ⇔ Tn ≤ t, n ∈ N0.
Quá trình này được gọi là quá trình đếm kết hợp hoặc quá trình đếm tái tạo. N
(t) Mô tả tổng số tái tạo trong (0, t].
Định nghĩa 1.3. Hàm tái tạo được định nghĩa
H (t) = E (N (t)) (1.7) Trong đó kì vọng được quy định là hữu hạn.
1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo
Ta giả sử rằng các biến ngẫu nhiên được định nghĩa trên R có hàm phân phối F như vậy:
F (0) < 1. (1.8)
Nếu
F (+ ∞) = 1 (1.9) Ta sẽ có trường hợp thông thường của các biến ngẫu nhiên thực.
Từ hệ thức 1.5, ta có:
P (N
(t) > n − 1) = F
(n)
(t), n ≥ 1 (1.10)
F
(n) Là tích chập n lần của hàm F với chính nó.
Từ đó với n ≥ 1
P (N
(t) = n) = P (N
(t) > n − 1) − P (N
(t) > n). (1.11)
Áp dụng hệ thức 1.10 ta có:
P (N
(t) = n) = F
(n)
(t) − F (n+ 1)
(t), n ≥ 1. (1.12)
F (0) Đựơc định nghĩa là phân phối Heaviside với giá trị tại thời điểm ban đầu
F (0) = U0, (1.13) Hệ thức 1.12 vẫn đúng cho n = 0, do đó
P (N
(t) = 0) = 1 − F
(t). (1.14)
Áp dụng bổ đề Stein, kết quả quan trọng sau được chứng minh.
Mệnh đề 1.4. Nếu F (0) < 1, với mọi t thì N
(t) Có mô men bậc bất kì.
Đặc biệt, mệnh đề này có nghĩa là hàm tái tạo hữu hạn với mọi t hữu hạn. Do đó, ta có thể viết: ∞
E (N
(t)) =. N. F
(n)
(t) − F (n+ 1). N=1 = F
(t) − F (2)
(t) + 2F (2)
(t) − 2F (3)
(t) + · · · (1.15) = F
(t) + F (2)
(t) + F (3)
(t) + · · · vì thế sử dụng hệ thức 1.7: ∞
H
(t) =. F
(n)
(t). (1.16) N=1
Trong một vài trường hợp, nó hữu ích để xét tái tạo ban đầu và để định nghĩa biến ngẫu nhiên N t
(t) Vào thời điểm t là tổng số tái tạo trong [0, t].
Rõ ràng, với mọi t ≥ 0: Do đó:
Đặt
N t
(t) = N
(t) + 1 (1.17)
E (N t
(t)) = H
(t) + 1. (1.18)
R
(t) = E (N t
(t)) (1.19)
Theo hệ thức 1.18,1.16 và 1.13 ta có: ∞
Hiển nhiên ta có:
R
(t) =. F
(n)
(t). (1.20) N=0
R
(t) = U0
(t) + H
(t). (1.21)
Sự phân loại của quá trình tái tạo dựa trên ba khái niệm: Hồi quy, nhất thời và tuần hoàn.
Định nghĩa 1.5.
i)
Một quá trình tái tạo (Tn, n ≥ 1) Là hồi quy nếu Xn < ∞ với mọi n,
ngược lại nó được gọi là nhất thời. Ii) Một quá trình tái tạo (Tn, n ≥
1) Là tuần hoàn với chu kì δ nếu các giá trị có thể có của các biến ngẫu
nhiên Xn, n ≥ 1 có dạng tập hợp đếm được {0, δ, 2δ,... }, và δ là số
lớn nhất. Ngược lại, nếu không có δ nào dương thì quá trình tái tạo là
không tuần hoàn.
Kết quả trực tiếp của định nghĩa này là đặc trưng của một kiểu quá trình tái tạo với sự trợ giúp của hàm phân phối F.
Mệnh đề 1.6. Một quá trình tái tạo của hàm phân phối F là
i)
Hồi quy khi và chỉ khi F (∞) = 1. Ii) Nhất thời khi và chỉ khi F (∞)
< 1. Iii) Tuần hoàn với chu kì δ (δ > 0) Khi và chỉ khi nếu F là
hằng số nằm ngoài khoảng [nδ, (n + 1) δ), n ∈ N và tất cả các bước nhảy
của nó xảy ra tại các điểm nδ, n ∈ N.
Nếu t tiến đến + ∞ hệ thức 1.16 cho: + ∞ nếu F (+ ∞) = 1
H (+ ∞) = F (+ ∞) 1 − F (+ ∞) (1.22) Nếu F (+ ∞) < 1.
Hoặc tương đương với với hệ thức 1.20: + ∞ nếu F (+ ∞) = 1
R (+ ∞) = 1 1 − F (+ ∞) (1.23) Nếu F (+ ∞) < 1.
Điều này sẽ được chứng minh ở định lí tiếp theo.
Mệnh
đề 1.7. Quá trình tái tạo của hàm phân phối F là hồi quy hay nhất thời
phụ thuộc vào H (+ ∞) = + ∞ hoặc H (+ ∞) < + ∞. Trong trường hợp
cuối, ta có 1
R (+ ∞) = 1 − F (+ ∞)
F (+ ∞) ∞ − ∞
. (1.24)
Sự phân loại được trình bày ở trên sẽ rõ ràng hơn với khái niệm tuổi thọ của quá trình tái tạo.
Định nghĩa 1.8. Tuổi thọ của quá trình tái tạo (Tn, n ≥ 1) Là biến ngẫu nhiên L được định nghĩa:
L = sup{Tn: Tn < ∞}. (1.25)
Vì
thế, nếu L = A, có nghĩa là chỉ có một số lượng hữu hạn sự tái tạo trên
[0, ∞). Ta cũng định nghĩa một biến ngẫu nhiên N mới, nó là tổng số
lượng tái tạo trên [0, L).
Định nghĩa 1.9. Tổng số lượng các tái tạo trong (0, ∞), có thể là vô hạn, được cho bởi
N = sup{N
(t), t ≥ 0}. (1.26)
Trong
lý thuyết độ tin cậy, biến cố {N = k} có nghĩa là thành phần thứ (k +
1) Được đưa vào hệ thống và sẽ có tuổi thọ là vô hạn. Phân phối xác suất
của N được cho bởi công thức và tổng quát với k ∈ N:
P (N = 0) = 1 − F (+ ∞), (1.27)
P (N = 1) = F (+ ∞) (1 − F (+ ∞)) (1.28) K
P (N = k) = (F (+ ∞))
Hiển nhiên nếu F (+ ∞) = 1, ta có (1 − F (+ ∞)). (1.29)
N = + ∞. (1.30)
Trong trường hợp quá trình tái tạo nhất thời, theo hệ thức 1.29 ta có:
Như hàm số 1 1 − x ∞
E
(N) =. K [F (+ ∞)] k (1 − F (+ ∞)). (1.31) K=1 với |x| < 1 (hay −1
< x < 1) Có thể viết dưới dạng chuỗi lũy thừa: 1 1 − x ∞ =. Xn.
(1.32) N=0
Với x ∈ (−1, + 1) Và như vậy, lấy đạo hàm ta được ∞ 2 =. Nx
. (1.33)
Viết hệ thức 1.31 dưới dạng (1 − x) N=1 theo 1.33 ta có: ∞
E (N) = F (+ ∞) (1 − F (+ ∞)).. K [F (+ ∞)] k−1 (1.34) K=1 F (+ ∞)
E (N) = 1 − F (+ ∞)
. (1.35)
Vì
vậy, có thể tính được trung bình của tổng số các tái tạo một cách dễ
dàng trong trường hợp nhất thời. Ta cũng có thể đưa ra hàm phân phối của
L. Thực vậy, ta có: ∞
P (L ≤ t) =. P (Tn ≤ t, Xn+ 1 = + ∞). (1.36) N=0
Với Tn và Xn+ 1 độc lập nhau ta suy ra: ∞
P (L ≤ t) = 1 − F (+ ∞) + . F
(n)
(t) (1 − F (+ ∞)). (1.37) N=1
Cuối cùng, theo đẳng thức 1.20:
P (L ≤ t) = (1 − F (+ ∞)) R
(t). (1.38)
Để
tính tuổi thọ trung bình của quá trình, ta sử dụng thủ thuật sau dựa
trên tính độc lập của các biến ngẫu nhiên Xn, n ≥ 1, ta có thể viết:
E (L) = E (T1. I{T1 <∞}) + E (L). E (I{T1 <∞}) (1.39)
+ ∞ ¸. F
(t). (1.40) = F (+ ∞) 0 1 − F (+ ∞) Dt + E (L). F (+ ∞) Vì thế
Và cuối cùng
E (L) =
+ ∞ ¸ (F (+ ∞) − F
(t)) Dt + E (L). F (+ ∞). (1.41) 0
E (L) = 1 1 − F (+ ∞)
+ ∞ ¸ (F (+ ∞) − F
(t)) Dt. (1.42) 0
Vì vậy, với quá trình tái tạo nhất thời, tuổi thọ luôn hữu hạn và có một giá trị trung bình hữu hạn được cho bởi hệ thức 1.42.
Ví
dụ 1.2 (Quá trình Poisson). Trong lý thuyết hàng đợi và lý thuyết rủi
ro đã được trình bày trong ví dụ 1.1, giả thiết cổ điển của quá trình
đến là nó hình thành quá trình tái tạo mà ở đó biến ngẫu nhiên Xn thường
có hàm phân phối được cho bởi
F
(x) =
. 0 nếu x < 0 1 − e−λx nếu x ≥ 0 (1.43) Với λ là một hằng số xác định dương.
Với
F (+ ∞) = 1 thì quá trình đến là một quá trình hồi quy. Theo 1.10, có
thể có biểu thức giải tích của tích chập liên tục n lần. Thực vậy, ta có
thể viết tiếp: ¸ t
F (2)
(t)
= λ 0 t (1 − e−λ (t−x)) E−λxdx (1.44) ¸ = λ (e−λx − e−λt) Dx (1.45) 0
và tổng quát: = 1 − e−λt − λte−λt (1.46) = 1 − e−λt (1 + λt) (1.47) N−1 k
F
(n)
(t) = 1 e−λt. K!
. (1.48)
Áp dụng kết quả 1.12 ta có: K=0 n−1 k
P (N
(t) = n) = 1 e−λt. K! K=0 n 1 + E−λt. (λt) K! K=0 = e−λt (λt) N!
. (1.49)
Với mọi t cố định, quá trình (N
(t)) Là quá trình Poisson của tham số λt.
Giá trị của hàm tái tạo H theo hệ thức 1.16 và 1.15
H
(t) =. Ne−λt (λt) N! (1.50) N=1 ∞ n = e−λt. N=1 ∞ (λt) (n − 1)! N−1 (1.51) = e−λtλt. (λt) (n − 1)!
. (1.52) N=1 hoặc
H
(t) = λt. (1.53)
Theo đó, trong quá trình tái tạo Poisson thì hàm tái tạo là tuyến tính.
Ta
sẽ thấy trong phần 1.5, một quá trình tái tạo có thể cũng được mô tả
bởi hàm tái tạo của nó. Quá trình tái tạo Poisson là một quá trình có
hàm tái tạo tuyến tính.
1.4 Phương trình tái tạo
Trở lại hệ thức 1.16 ta sử dụng tính liên đới của tích chập ta có:
H
(t) = F
(t) + F (2)
(t) + F (3)
(t) + · · · = F + F • [F + F (2) + · · ·]
(t) (1.54) = F
(t) + F • H
(t).
Hệ
thức này được gọi là phương trình tích phân của thuyết tái tạo, hoặc
đơn giản là phương trình tái tạo. Nó được viết như sau: T ¸
H (t) = F (t) + 0
F (t − x) DH (x). (1.55)
HoặcF • H (t) = H • F (t) (1.56) Suy ra H (t) = F (t) + H • F (t) Hay t ¸H (t) = F
(t)
+ 0H (t − x) DF (x). (1.57)Trong trường hợp riêng trong đó hàm mật độ f
của F tồn tại thì phương trình tích phân cuối cùng trở thành: T ¸
H (t) = F (t) + 0H (t − x) F (x) Dx. (1.58)
Trong trường hợp này, ta có thể áp dụng tính hội tụ trội cho 1.16 chỉ ra sự tồn tại của hàm mật độ h của H là: Với ∞ h
(t) =. F [n] (t) (1.59) N=1 f [1] (t) = f (t) (1.60) T ¸ f [2] (t) = 0... T ¸ f [n]
(t) = 0 f (t − x) F
(x) Dx (1.61) F [n−1] (t − x) F
(x) Dx. (1.62) Với
Từ hệ thức 1.58 hoặc 1.59 ta được phương trình tích phân cho h: H
(t) = f (t) + F ⊗ h (t) (1.63) T ¸
Hoặc f ⊗ h
(t) = 0 f (t − x) H (x) Dx. (1.64) F ⊗ h
(t) = h ⊗ f (t), (1.65) H (t) = f
(t) + H ⊗ f (t). (1.66)
Thực tế, phương trình tái tạo 1.55 là trường hợp riêng của một dạng phương trình tích phân:
X (t) = G (t) + X • F
(t) (1.67) ở đó X là một hàm chưa biết, F và G là các hàm đo được bị chặn trên một khoảng hữu hạn và • là tích chập.
Phương trình tích phân đó được gọi là thuộc kiểu tái tạo.
Khi
G = F, ta được phương trình tái tạo. Các phương trình tích phân này đã
được nghiên cứu từ lâu gồm các đóng góp của Lotka (1940), Feller (1941),
Smith (1954), Cinlar (1969). Cinlar đưa ra hai mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.10 (Sự tồn tại và tính duy nhất). Phương trình tích phân của kiểu tái tạo
1.67 có duy nhất một nghiệm được cho bởi
X (t) = R • G (t) (1.68)
R được định nghĩa bởi hệ thức 1.20.
Chứng minh.
1. Sự tồn tại: Trong thành phần thứ hai của phương trình 1.67, ta thay X bởi biểu thức 1.68:
G (t) + R • G • F (t). (1.69)
Sử dụng tính chất giao hoán của tích chập ta có:
G (t) + R • G • F (t) = (U0 (t) + R • F (t)) • G (t). (1.70)Và bởi 1.21
G (t) + R • G • F (t) = R • G (t). (1.71)
Vì vậy, hàm R • G
(t) Là một kết quả của phương trình kiểu tái tạo 1.67.
2. Tính duy nhất: Đặt X1 và X2 là hai nghiệm của phương trình 1.67, và Y được định nghĩa bởi:
Khi đó ta có
Áp dụng phép quy nạp ta được:
Y = X1 − X2 (1.72)Y = Y • F (t) (1.73)Y = Y • F
(n) Với mọi n > 0. (1.74)
Hàm tái tạo R có thể được định nghĩa bởi chuỗi 1.20 hội tụ với mọi t dương, ta biết rằng:
Do đó Và với 1.74: Lim F (n)
(t) = 0 với mọi t 0. (1.75) N lim Y • F (n)
(t) = 0 với mọi t ≥ 0 (1.76)Y
(t) = 0 với mọi t ≥ 0. (1.77)
Nhận xét
Đăng nhận xét